Barisan dan Deret

9:27 PM | Labels:

 Barisan bilangan didefenisikan sebagai susunan bilanganyang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangandengan bilangan berikutnya. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.


BARIS ARITMATIKA
Adalah barisan dimana selalu berlaku selisih dari dua buah suku yang berharga konstan.
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                      U1, U2,   U3 ............., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA
Jika Un adalah suku ke-n baris aritmatika, maka:
U1 + U2 + U3 + ... + Un  atau a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut Deret Aritmatika.
a = suku awal
b = beda 
n = banyak suku 
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n buah suku pertama baris aritmatika adalah:
Sn = 1/2n [ 2n + (n-1)b ] = 1/2n (a + Un)
Suku Tengah untuk bilangan Ganjil:
Ut = 1/2 (U1 + Un) ; atau
Sn = n . Ut

Sisipan Pada Baris Aritmatika
Misal diketahui dua bilangan , p dan q.
Jika diantara kedua bilangan tersebut disisipi k buah bilangan.
Sehingga terjadi baris aritmatika, maka diperoleh bentuk:
P, p+b, p+2b, p+3b, ...., q
Dengan b = (q-p) / (k+1)

Keterangan:
    1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
    2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
    3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
    4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

      Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst. 
    5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

BARIS GEOMETRI
Adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi dua suku yang berurutan berharga konstan.
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un

Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
  
DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
      = a(1-rn)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:
    1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
    2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku 
      Un > Un-1
    3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      Un < Un-1

      Bergantian naik turun, jika r < 0
    4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
    5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut =       Ö U1xUn    = Ö U2 X Un-1      dst.   
    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1 

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0 
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga    S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar2 +ar4+ .......                     Sganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 + ar5 + ......                  Sgenap = ar / 1 -r² 

Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r













  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Posted by Unknown

0 comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)
Powered by Blogger.